零测集的定义

陌雨’

于 2020-11-13 10:44:41 发布

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微积分

抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

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零测集是指在平面中具有特定性质的点集，即使得其可以被极少量的闭矩形覆盖且总面积小于任意给定正数。博客介绍了零测集的基本特性，包括有限点集、零测集子集、可数个零测集的并集等都是零测集，并指出一元可积函数的图像也是零测集。这揭示了测度论中关于集合测度的重要概念。

摘要生成于

C知道

，由 DeepSeek-R1 满血版支持，

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零测集的定义

设

A

⊂

R

2

A\subset \mathbb{R}^2

A⊂R2 为平面点集. 如果任给

ε

>

0

\varepsilon>0

ε>0，存在至多可数个闭矩形

I

i

,

i

=

1

,

2

,

⋯

I_i,i=1,2,\cdots

Ii​,i=1,2,⋯

使得

A

⊂

U

i

⩾

1

I

i

,

且

∑

i

⩾

1

v

(

I

i

)

<

ϵ

A\subset U_{i\geqslant 1}I_i, \ \ 且\ \ \sum_{i\geqslant 1}v(I_i)<\epsilon

A⊂Ui⩾1​Ii​, 且 i⩾1∑​v(Ii​)<ϵ

则称

A

A

A 为零测集

零测集的基本定理

有限点集均为零测集零测集的子集均为零测集可数个零测集之并仍为零测集矩形的边是零测集设

f

f

f 为

[

a

,

b

]

[a,b]

[a,b] 上的一元可积函数，则其图像

g

r

a

p

h

(

f

)

=

{

(

x

,

f

(

x

)

)

∣

x

∈

[

a

,

b

]

}

⊂

R

2

{\rm graph}(f)=\{(x,f(x))|x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}^2

graph(f)={(x,f(x))∣x∈[a,b]}⊂R2 为零测集